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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 ].&<Ga/b,  
7dD"D  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. Ah0g?Qi_,  
S:9r~S(7n~  
　　1、三角函数本质： g`.{PHW/  
Q'~el4jEH  
　　三角函数的本质来源于定义 NPiKR"^M8  
cta#)_ e  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 )4MeH{y~]  
D$sIoyI  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 U5-[H4)  
g TnG'QG  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： v6FRSt*  
G W *bn  
　　推导： "xos?X-  
8@[sOHm  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 N>(@_ o3  
v8MYB8@_  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) % mHU h_  
@a=bU:yvb)  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) *^tTy7>)<A  
4k{N$  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 1fUByi  
G;#`4pq?$f  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） w)P]_;%:  
IycL-/)U   
　　[1] |Y^a'[]Y]  
lv-W} X  
　　两角和公式 KvPSpW"Ym  
bCCK\4u  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB |;gs&C  
r72M;\  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  %TIv;u~PF  
@JRfuzU)  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB IF247Uc  
PTh3'.B  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB g<FJ&;W  
T)^g=1{  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) <(,-.s 2  
r>H2$g+ sI  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ]+=d*  
Q&MqOV,5  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  6(eWtTf$Z  
$ ~ kj  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) (3$J+p{F  
?xq1Ty S:  
倍角公式 Dl<$5e:  
xk~EALWW  
　　Sin2A=2SinA•CosA Hl/^7f#}3h  
?0!9^of/  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 }G` =I"8  
Di\O@Fj:F  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） -tWYSn<Tp  
rt<kk^_Tcg  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） wkb#$)j@  
Tj|5A/uD(  
三倍角公式 8@@&=Q  
RPVt7D  
　　 8BX(n ]DW*  
>uB_x|*-v  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) yc.e"@$  
xIkU.2b  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) ~E{j)e  
\ V z4O-  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 5>}cPI z  
2HztpBxL  
三倍角公式推导 YmvGVI8  
)WbW)4   
　　sin3a oQ(]o`t  
v2wo  
　　=sin(2a+a) j#|/&Y=  
j9wo/ :xl  
　　=sin2acosa+cos2asina h&3s9$c$F[  
&FD$s~rE  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ["<d"E  
k5/FV K-  
　　=3sina-4sin³a 4.OdU4c  
7MCI}Wh  
　　cos3a l/cx=@b$  
4|m;!xm\  
　　=cos(2a+a) b!]Bce(  
~etE$`:r`  
　　=cos2acosa-sin2asina &v, {O s6  
Yti^V  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa $iZd l:9I  
>rYVDMkt  
　　=4cos³a-3cosa l NRD&%{E  
t3EY hCvp  
　　sin3a=3sina-4sin³a mp6r89BZ  
'd m(.  
　　=4sina(3/4-sin²a) fXBDfR  
k'<$ndM&  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] xLD:_#)X  
j!yf0Qg-k  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) DwJZs6n7  
_Q$a Mcl  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) Ev(-vxmB  
*SN%HL?  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] o/<[ "  
PSBo OW  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) Yj7*7-  
F<7NP2`@q  
　　cos3a=4cos³a-3cosa <Df (  
N0tt5f.(m  
　　=4cosa(cos²a-3/4) W3fJN,j  
g=+YTj=cp  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] Aw[]6I;  
vf*W]"N  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) r6@b2(rr  
-:@v%R7#e  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ]O| I'KHp  
_?5+/o J?  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} Bz% JZx  
*'Kk bVm  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 5GAjQ;>L  
@dd,@x<  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] t_!8J* zV3  
k0)5w5[hQ  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] |+&#\7]  
 mAkPp$  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) uiLVF}=  
4b&h<>  
　　上述两式相比可得 IIWjx%P  
J&9Ode%Y4  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 1K#\)/O<  
PpO} Lo,S  
半角公式 sl\(K  
8OG dh8  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); Y@w!Yj\  
R4 f[V/  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. ^ S|a{  
3_/5[D  
和差化积 :n[v_PMV  
0VeJ~tK!  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] OVGa2E:  
N)^p{u gv  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] d=VMb+9  
8-W^5  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] k. l(er  
z Q9f!;%  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] gZk0N7/  
`/q2;2  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) GV!myn  
$xZm!AR  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) @J]Nhw`.u/  
LQfj-S  
积化和差 |Z)6xL%xu  
\8&lycR.  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 6 v>~Oe2  
h0IjL[HI  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] WZ~ 1..b<  
P @/KK5  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] q<o1W"   
Y bYb&I  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] U|1`pBu  
sIH|J`Z^ j  
诱导公式 F%rL$  
FE7#KSrm  
　　sin(-α) = -sinα 0c#siH  
DqW_"?/5u  
　　cos(-α) = cosα HjxP 8F  
q:,d5T ;  
　　sin(π/2-α) = cosα ` B/to_%8  
:K z^J9B  
　　cos(π/2-α) = sinα /%1ito y  
xK *Rq  
　　sin(π/2+α) = cosα rS.+4Xa  
W=)f /~:1  
　　cos(π/2+α) = -sinα SNZ _k"7  
&s rH1m  
　　sin(π-α) = sinα )&{6V&1X:`  
P|-' >  
　　cos(π-α) = -cosα rEczi&B=^L  
cpm0J.=`w0  
　　sin(π+α) = -sinα *Q,Hr|  
Cm]F&Y@N  
　　cos(π+α) = -cosα (ndbDy]  
k\Q2oWT `  
　　tanA= sinA/cosA k1rm:S1T  
`nW11"  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα YK7y)  
:Zj[c<`a  
　　tan（π/2－α）＝cotα o]&U{C1m  
x2p6kQ'S,  
　　tan（π－α）＝－tanα EP8lf2|X  
Yca/5PL  
　　tan（π＋α）＝tanα n|7FT7f{NS  
Fa$z@H=  
万能公式 l|m? N8\  
Pj- = ,  
　　 GX)X|R:9  
>Gz2{)EW  
其它公式 4G({_n}  
JR=Jrmt2  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 hDG7 +@  
G$a82B|  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 -eY\` u  
, 1 PO~b  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 W"2n!:*  
s0y!GsrZn  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 c\,AI&Gsd  
S#oqfKa  
　　对于任意非直角三角形,总有 ?b`%gAa*  
6Uv]HG- [4  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC _RS2Vrm4  
$&D.4(<Q  
　　证: h=@lV3  
0HR w`.  
　　A+B=π-C 00%TcX   
e'"!7a50jG  
　　tan(A+B)=tan(π-C) s0J@u  
oqp@8+NO  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) C.,9O'  
4"Ko=1ko=  
　　整理可得 &q;C a  
Vc t(tS|n  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC W]6O<)\aj2  
/dy;uB>  
　　得证 dH,M}W   
jB } z  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 W<{1K!C  
:hC4!7+R  
其他非重点三角函数 uKAn.\>RL  
Ue>l-vNqP  
　　csc(a) = 1/sin(a) 6Jo-6tthl  
!PA72K66  
　　sec(a) = 1/cos(a) e#?U!_#  
9D(B{x zM  
　　 X \6&*%JQ  
6Ky,}p=]  
双曲函数 bw#p&)<  
h.K4;~z]g  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 =Wlp' pBu  
{j8Ky/_5#  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 W8pn}-  
hU2:h8 D\  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 16iI#K>  
Uk=vn,>\:  
　　公式一：  $eXy/5Q  
(bRMG%4"  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： fFl-, Hu.  
&A"l!@]7o  
　　sin（2kπ＋α）= sinα K@XxVo8]  
wOMLyk'  
　　cos（2kπ＋α）= cosα B' ktsQ=  
fk-}O%:  
　　tan（kπ＋α）= tanα QP^s4l P  
<yq[b#_  
　　cot（kπ＋α）= cotα B`W!Q,$&  
ubsSNW~#n  
　　公式二： !\ZfP  
r6R VLCKF  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： x@4QvRBL;  
BX6AugTw  
　　sin（π＋α）= -sinα bepSRi$K  
x$PE $$y.V  
　　cos（π＋α）= -cosα R,yQ]H?m3  
q);>H15C.  
　　tan（π＋α）= tanα k PLFP  
U D'34Fmy  
　　cot（π＋α）= cotα ,kn I9MFv  
]8+T38  
　　公式三： HDUqj6s  
vlp (rS>  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： B<Y $Ec%  
e yGVZo%Z  
　　sin（-α）= -sinα q2d|#p  
tH@rIv&mO  
　　cos（-α）= cosα J029xz0St  
]?6 @<P*  
　　tan（-α）= -tanα rFu</sr  
>%= 1Qz  
　　cot（-α）= -cotα ve@L d  
7x{lxPRk  
　　公式四： W>f 2XzR  
RV-5``!/A{  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： tv{7QDt>  
D\_sf PUI  
　　sin（π-α）= sinα N-$ y  
vo/K8b  
　　cos（π-α）= -cosα $ ? WqU)'  
li/K^|057  
　　tan（π-α）= -tanα Vo MjH  
H 00`w )p  
　　cot（π-α）= -cotα *kdf,g8  
2MTXlnE  
　　公式五： f"$^m  
CZ!]9[n6(  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： {1%ry'  
uEC!y]T<X  
　　sin（2π-α）= -sinα b|]\~9  
!c+UR  
　　cos（2π-α）= cosα \;7#"eVHe  
Z)5F v7 3{  
　　tan（2π-α）= -tanα &>Y=Z>p  
(=a m1hT<  
　　cot（2π-α）= -cotα cdF? Gt{',  
.i!BJ(+F  
　　公式六： R0z 4)y  
n j:>C5  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： )6@Luxx  
q9s1NDVD  
　　sin（π/2+α）= cosα /PW:iA  
zCO:\c*~\  
　　cos（π/2+α）= -sinα l'y:/|HQ<  
kwc2I_y,  
　　tan（π/2+α）= -cotα e}PLG!e[>  
C2n|rMz P  
　　cot（π/2+α）= -tanα vWccy  
+`#e.^"z  
　　sin（π/2-α）= cosα M 0+Y:fE  
d7kQPytWH  
　　cos（π/2-α）= sinα O-\Un7  
R yv ^bld  
　　tan（π/2-α）= cotα ~a,3KwN1  
t 9{BJY  
　　cot（π/2-α）= tanα +$vE2fY  
nh6zs;;_9  
　　sin（3π/2+α）= -cosα bx[gk  
5m3"X _o  
　　cos（3π/2+α）= sinα ` }N;1  
p -pt4R  
　　tan（3π/2+α）= -cotα eVf\f(`)  
VuV30Q=N  
　　cot（3π/2+α）= -tanα .0I]j>4oj  
Qi2s4b4.  
　　sin（3π/2-α）= -cosα ~0 {y#o  
:]Ke4 es  
　　cos（3π/2-α）= -sinα g`)'P?P,  
0.S13xe(!  
　　tan（3π/2-α）= cotα $ #l}Gzsx]  
W.k 8l14  
　　cot（3π/2-α）= tanα ,rL &%*n  
Y um ;  
　　(以上k∈Z) :A F#)  
!$:;@/yfe6  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ~!e<u;  
sO*?. \4K  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = q2.!*Jp  
eTL#x"eO"  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 'xDr>GdX1v  
w$)C,&gQc4  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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