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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 S;P W"=}  
_b'MltG&E&  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 5v >c;  
YtCTADr  
　　1、三角函数本质： GKqec_y  
j&Z00 %w   
　　三角函数的本质来源于定义 ULm!+;}  
Ugb@l*{  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 3! ^ E}~  
rnsXB5p  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 -:SDk   
E u(SAj]  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： pp$4$Rd$  
BiQ@Fr-i  
　　推导： f wSp8 4  
y 9CU5RW  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 t[y~f  
3Jz$];  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 5Zm>Q1{  
&Z 3)#DU  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 9!x*K3la^  
LX% A1  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 tW-4ehU  
_.P7iv`]  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） wU4jiDl:B  
5vp?nG#1  
　　[1] %*0eP*d  
{=*{eg."2^  
　　两角和公式 a66`b<P  
^.qw#_8v  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 3diG~ V'G  
M^I%i'y  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  wWL+vCeFD  
kU}yJUhJu$  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB sZM~Qavf  
B9kr{4_E  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB pfoEVf7  
P*S3,8  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 1=]}f0{  
g#SaA?  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 7 |5zu(;_  
vL2 BF/%|  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  |_AiW88]  
p tD[  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) UV8|jtEq+;  
v3qvYi.  
倍角公式 71 Ii!O  
= 9,aX^M  
　　Sin2A=2SinA•CosA YLR^ssd8l  
Ubm Sw  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 fT^<-0XagT  
]%I;xud  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） K[eLx~> ]O  
R _8b8J^  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） { 2f\YNx_r  
C\zHRJ z  
三倍角公式 ! 514K k  
>i<$rQ%3  
　　 \A;51[ew  
A cB (  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 302,aM8sGi  
P1)M+m*^$  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) xX(yQD f  
=-4bEY gm  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) [HW6yW 2v  
tMZ[XXg  
三倍角公式推导 8Wddzc  
K``q+rK  
　　sin3a ?tXU1p;P  
,-n0|(P^  
　　=sin(2a+a) u5_;pl4  
dfN>j7?)X  
　　=sin2acosa+cos2asina 7fGODR#  
2t/ /8  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina }A2Q^7  
;&xY:ccfMR  
　　=3sina-4sin³a <..C7 9 U  
zcNhdaMOE  
　　cos3a l b X4@p  
g qy(AO=  
　　=cos(2a+a) ?jzJ+q5  
bE[.[d`_7  
　　=cos2acosa-sin2asina ydlL2_bd-  
<Ag<Qc:L  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa c/s>6m<|  
y[{{A` p3  
　　=4cos³a-3cosa sN1;]G#vMA  
^EF>sA  
　　sin3a=3sina-4sin³a &4qp?uuGv  
1gKy],)d()  
　　=4sina(3/4-sin²a) :qI_!Zc7  
4U<F-{  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] PI%) 2\T  
$&\oDi]  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) &q3Q @h43  
"?w 3!  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) iy$#!G[kkX  
|b=fD>5;  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ~5:o@h/TY  
b-Ttk  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) P;t)PE-x]  
b1t`@n^-\  
　　cos3a=4cos³a-3cosa -4p bY!  
t NY9!>=  
　　=4cosa(cos²a-3/4) v1tk&gMM7  
k0+*T,F  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] ]VF'$Wv  
xfV(St1a  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) L,!=%v*  
DDis}kQN  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) y&c_E|T|j  
(*PC%QQ!  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}  F`&  
A\&+. >-  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 9F4YM9wwB  
%uf(FP`>  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] I|*+ZiaF  
$q:8V`{xO  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] ,25@9  
w%Ek_5W  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) B<PjAIb  
\Q3kly {So  
　　上述两式相比可得 =V6Az6%1I0  
Hdk!b%:)  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ":7y,R!  
/48c$Aq7_  
半角公式 #*x-sz  
rQU{Qk!G  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); :CEw0@He  
za&$miqKQ  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. Z_g3f`/  
gg-KlgAW9T  
和差化积 * 46xF?:T~  
n4 6/@iY f  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] '`~v1+'=  
mNqCk? N+  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] S,b!<x4O  
=+@RfdK@  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] u=k@+U ?  
f^ s -:  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 65HITVBu  
NjS; +Nf  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) >Ggqp  
E7;PZp  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) erpF d-2G-  
Kdaa5ENrL  
积化和差 )8}J0YsvHk  
U\ @z+]  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] A$;Fy D}E  
@`~[Fj  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 1;EZb*&4  
nn3 D)1   
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] dqp-qQVT2  
PVdB+_gar  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] P9 l\ @-  
!M=Saj_'  
诱导公式 FFkGec}  
[Zo<d+EUt  
　　sin(-α) = -sinα o+x_W;g  
GK.!>)rm(  
　　cos(-α) = cosα iV}x=k]Qo  
V<!]!!}  
　　sin(π/2-α) = cosα }ZI^  
??jZ)51c_  
　　cos(π/2-α) = sinα s'Vwv \  
] ke!n  
　　sin(π/2+α) = cosα wsq7% 3  
lm3 iAL  
　　cos(π/2+α) = -sinα O0D`Gu  
-!(6EFP  
　　sin(π-α) = sinα X(#S \rH 1  
hazx ZQJ  
　　cos(π-α) = -cosα ^Dy/ t  
vx6NL%'39"  
　　sin(π+α) = -sinα 1cP  
lLX 4qFM6  
　　cos(π+α) = -cosα  3:v,lFcu  
)N^MKt21  
　　tanA= sinA/cosA ~xQ0bM2\  
iUy9vC`!B  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα kWL4R2.  
B!#oRon  
　　tan（π/2－α）＝cotα Qb%$1nG$  
YY,+)q{Uq  
　　tan（π－α）＝－tanα - !RC<WR9  
y%H,q.`  
　　tan（π＋α）＝tanα E}KEIed  
5h#pj`V#  
万能公式 ,F~bXZtL:  
k&p{~Nv9LZ  
　　 0]2726^  
Ee,\fxb4  
其它公式 (xC.(ecMd  
HX_Br.WJ%G  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 `\.tNc+  
3-oojC  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 4|2yl< ;(  
.|Pj&  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 Ck\mbO4g  
_FCfr+?Z  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 }='[[{^y5  
,+(\,,yv  
　　对于任意非直角三角形,总有 X@akr32t  
>${$X`MA  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC yO%"+DH  
bCP.D@r  
　　证: RJ2b*.:~  
T!K+Sc @  
　　A+B=π-C ~8Uv9SKh+B  
).$xzt.  
　　tan(A+B)=tan(π-C) &4'gzQH vp  
1)H/5X,2[  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) E ;-I?  
fFf $D3H  
　　整理可得 Hdz3Cc8VV  
=3/ Fs<  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC @(c{6IK;  
?iHIb+E_o  
　　得证 kuE- 8h{5  
#[>@ (,  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 STg fnQf  
R >< c'}  
其他非重点三角函数 `aqZ~E/&f  
6GWV(C~  
　　csc(a) = 1/sin(a) [9@)|F1ki  
o%19.  
　　sec(a) = 1/cos(a) [<. =L  
u=y|-u5R  
　　 H+cGBV6  
e%OC'O4k  
双曲函数 *f}+ae  
aX1sjl4 &  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 K.yb4Bh5  
Lz0<e93  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 dUd?`h <j  
$s3d{3)|UF  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) M9 >~mG  
H, Jd  (  
　　公式一： > k<.E]J  
y>>/rsV7B-  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： F@e$e#U9  
is_8;6 i6  
　　sin（2kπ＋α）= sinα &t6~2 ?  
 zOw@O  
　　cos（2kπ＋α）= cosα hh)M0K]2G  
XM$-5;2  
　　tan（kπ＋α）= tanα EGNb;2<G  
I}\9R]:  
　　cot（kπ＋α）= cotα D? o;Di/  
T/.?QF5  
　　公式二： L,\-m PKK  
B HHj>KR^:  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： fIc?DE!\  
DhiWG7X E  
　　sin（π＋α）= -sinα Lc O1 /&O  
Mz<$e$  
　　cos（π＋α）= -cosα jC @yFk  
~Z@{x=x  
　　tan（π＋α）= tanα Ge[]J>4Bt,  
{%^-?5zN  
　　cot（π＋α）= cotα ZK3[alif$;  
Bc<NDMsZFq  
　　公式三： *8b( }R  
`0}10  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： z (d!:Ti  
{bN\H{/do  
　　sin（-α）= -sinα qk~%f$K2  
 8ohVj@4  
　　cos（-α）= cosα +)r]8T]  
4f@W3K]N  
　　tan（-α）= -tanα z;f%tPE  
J61t551  
　　cot（-α）= -cotα Fm7,%3 _  
jjI 6U1O  
　　公式四： B^O=  
%aWs]E;J  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： <kk9-kY  
*O%,x@  
　　sin（π-α）= sinα tN=$JFKo  
v2m.Y B  
　　cos（π-α）= -cosα \J:muw  
w|NSd  
　　tan（π-α）= -tanα }Q D@,G  
Yq?o:/jP  
　　cot（π-α）= -cotα V?A  
6O0Q V&(  
　　公式五： &T;k! [  
o*>E)Rsq  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： pHnmiv9  
cr$tu  
　　sin（2π-α）= -sinα r-M!JwV7.  
kFd%|B  
　　cos（2π-α）= cosα #(rnb  
(EBqLlA  
　　tan（2π-α）= -tanα aR m-%  
XXI.`|}dXj  
　　cot（2π-α）= -cotα RNCW}'q{  
/b;o&e-vI)  
　　公式六： /6}t'n #4  
5+_3LKaMA  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： # Oe(Tb  
FVi/i@  
　　sin（π/2+α）= cosα |!GeTO+y  
P+K>;7t1  
　　cos（π/2+α）= -sinα ~0'SF vw  
4Bxb>zo  
　　tan（π/2+α）= -cotα 8/5{A  
c 96xH  
　　cot（π/2+α）= -tanα PwnUoCBX  
5]B6_zn  
　　sin（π/2-α）= cosα TXR?e    
> 3'sC  
　　cos（π/2-α）= sinα 6oF_'3.d^  
z0%?=]z  
　　tan（π/2-α）= cotα #\VSuj^3  
)cM!p  
　　cot（π/2-α）= tanα ,%[.D+f=+  
! .W&zy.'  
　　sin（3π/2+α）= -cosα mncid#)#  
b[8MgAMMo  
　　cos（3π/2+α）= sinα ]kv! lF  
x LDz`  
　　tan（3π/2+α）= -cotα E0wJD m  
! US@`d)  
　　cot（3π/2+α）= -tanα gi)gL Y E  
J]Po "+!  
　　sin（3π/2-α）= -cosα g-,']1% f  
HGMD6V$2m!  
　　cos（3π/2-α）= -sinα Zf|g:6;  
'4un)#}y  
　　tan（3π/2-α）= cotα "xnmNgxn  
!TB*qJ<_mN  
　　cot（3π/2-α）= tanα s(9>qZa  
CUt Kpm]  
　　(以上k∈Z) j;|[ 5J  
sODDE  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 C`GnJ0a4  
P|r-O"  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = ]#Or|r  
arr1S  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } YM.&s!8  
D<7x  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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