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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 nI2 %:#OI  
q :z[0d5)5  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. wa%Hr  
$0Q/=-lB  
　　1、三角函数本质： rWL3E)1e  
T b?kcf8  
　　三角函数的本质来源于定义 *%x^nQ  
[x*|*6<>  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 7D m4 9'F  
*Zu^W,D@E  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 $R){(I'Cz  
V j l8o  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： JoLEC,aP78  
/:a b00  
　　推导： Y)'&ta%G-  
tp'sE<5\  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 F>T"\" R  
jjgN-g(0^J  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) #D-\*lW3J  
jKQ/j4)a  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ma}PPi L  
<Rv@j=D  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 6 ,[.(  
A1HRWGBz  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） i{`sgZ! w  
#g@+eEv/<  
　　[1] !'|m;K F,  
c>%pzC:  
　　两角和公式 zRU`c2Nqy5  
1]K"B}B_  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB K$ 1yG$'  
C$~_,Oku  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  :>X$0" -  
g2G[=_bhR  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 5GH-Yw(H  
> orUc1N{  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB OjqmF\^  
FyD#ZA]  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) "LUR{+{  
m<"<8k,iIo  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) intF4}-n  
;g7=w'p`+  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  G.XS tR^T.  
vt;e-Uhz  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) }tpIsy.  
3U,o%  
倍角公式 Du9%-S,  
=V%Zw31r  
　　Sin2A=2SinA•CosA zz"`f22:A  
LL>0Nx!@Q  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 0kI3xlI<  
4"</#9b4P  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） o>,- &.  
)agvzg'  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） E=h/0<K  
vQ3j6dT  
三倍角公式 W6T4#S  
Yb@/|j'Of  
　　 Wng]k!t  
2.Ug9^Y@  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) ) [cED{  
Bm1 d[A\l  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) S]vvw]>v  
JUw} l@3  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) : )sk_"}  
n!<? +s!:$  
三倍角公式推导 X d,.\  
=r/9kF]g(  
　　sin3a /-s -na$  
;CVm'<Y"  
　　=sin(2a+a) (XH\}IP  
gKdMPj!1  
　　=sin2acosa+cos2asina ,&&r,s  
=iK[-.^k^  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina bs oj?h)Q  
H93bv)R  
　　=3sina-4sin³a G]GWouZf  
m(M=wGv  
　　cos3a 5;5n0"yQ  
U!.,h9'  
　　=cos(2a+a) FC4"Z2d  
|V;9Y,8  
　　=cos2acosa-sin2asina oG&/OK  
UseTcsj</  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa S4]JO=  
km&w}UE  
　　=4cos³a-3cosa ,uwt]w(T  
eSB%J|ES  
　　sin3a=3sina-4sin³a {}I&#\E,/  
Z m+e7,#u  
　　=4sina(3/4-sin²a) ncC:eWFK54  
I@y_^;YgQ  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] ,bzsdyf:  
R?|5y@N  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) n}HNP3 d  
tcm[|ufl%G  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) PVKknHK  
bV\[r!  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] tKypy  
Q ACw_>{  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 05FQJoit  
.Z+!^B  
　　cos3a=4cos³a-3cosa ,_+l{e8  
!_uS!hF0  
　　=4cosa(cos²a-3/4) `) i.VzJ  
FP5Y/<[  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] Z^Q/Ba+Z  
y34.X? 2  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) *AI6WWzaV  
-MFi#lc+  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 7W 3qsq  
Ff&J t)  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} }v?~ l.  
E? ZeI-  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) r52Azo/D  
v} [ J  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] x:edk /<  
6X8s k)  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] ]a:{<l2  
p"")u#:  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) w.TB'@Z~.@  
i^f0<J>.  
　　上述两式相比可得 %$%3x];?  
H[1f_7oB  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) .,(gNX  
)~|x A#  
半角公式 U7>5R7(^~  
w "d1K  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); * Kbvx74  
s$Ln@DY  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. `/ZSB<uEI  
\fC6rR (  
和差化积 s[Td<D5d %  
JP6c3~}  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 1a8yP  
5$H1BXG  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 5X6.^@<h?  
(%M a  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 8{ Ze  
z)?[so:|  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] DbYYD<gK  
6bL2/LHNf=  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) ][4\=L  
/$9@qh{N  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) \b;+v"I0  
[+Z% 0 A:M  
积化和差 Qv2|J'?  
iVZ1 .V  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] d$:@D?l$  
2}~6s0ub  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] #jipO|z   
rg *. W  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] upolDE]  
:$=G@$Kq  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] _^ES1*  
=|uDf1|Zb  
诱导公式 JWwwyFz  
;=O\gAv3@  
　　sin(-α) = -sinα l9u!*=|#p  
L{3$Rjm6  
　　cos(-α) = cosα  = +J}jj  
09f\$4Y{*  
　　sin(π/2-α) = cosα 4%P`EKY+f  
 ,xMjf tN  
　　cos(π/2-α) = sinα wP I//+|S  
V4c]1  
　　sin(π/2+α) = cosα :zH'_b^5  
&z~JUXb's  
　　cos(π/2+α) = -sinα oEtIzd|  
 ZV9xBSo  
　　sin(π-α) = sinα Pg#phTjF  
_o~_i lJB  
　　cos(π-α) = -cosα I#e$:!  
kg}Xp?a  
　　sin(π+α) = -sinα \a<LWy|*U  
ntn?qFyzN  
　　cos(π+α) = -cosα ["lje  
vSbie`]  
　　tanA= sinA/cosA 2[GKAxXQ!  
 }.eXQ%[  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα bPJ+#*U  
c=F@YX2w  
　　tan（π/2－α）＝cotα Zq%VLrN  
)xxZ)  
　　tan（π－α）＝－tanα g >6S~JJ"  
'roJ':Y`  
　　tan（π＋α）＝tanα Xa"D.dr1(  
8yC,pxU  
万能公式 28v vPo'r  
Lq,4wM'w8X  
　　 6<=m|-O1  
$D ,7o)JU  
其它公式 ^ SRYrph  
B9slL^  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 v#*4m#0Eb  
`Plg_&)n  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 Gi2. Bcl  
.\|m& I'T  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 gL@}.$K}`  
nUR2L  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 tVuU>R7Ld  
q 458=3*>  
　　对于任意非直角三角形,总有 xpW_L1Jl  
Jd;fwB?J  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC A F=P~=J9  
\N|'tb@f/?  
　　证: i0AI~5;"   
4T<S R|  
　　A+B=π-C 0qQR2#a!  
:? k06BH  
　　tan(A+B)=tan(π-C) yiO*7pkf  
G`)?i[=_"  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) Y6| RC  
{A>L'x*  
　　整理可得 z Iheyb2MU  
Ic.m r'V#Q  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 32)(I!  
 rIY{@  
　　得证 "g@UK <  
/A$M?&'  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 7:2-I?*nG  
"IF }!67  
其他非重点三角函数 fV7S/Rc\  
OlA?p]2e  
　　csc(a) = 1/sin(a) hHO]CY''  
k _Y <x`  
　　sec(a) = 1/cos(a)  ,jb D  
a] wVSG  
　　 s1!:UX  
_ B~a3W  
双曲函数 `~Fs/rn  
Cx{=T-'5F  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 'D|-+dJ  
#WX1=7 w  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 O&Y%pA)v8U  
jeo7N7~Psm  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) .S9?&lKl5  
=""^\#2l  
　　公式一： AB.j{tj^  
A_d=# r  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 0WBOj5iL@  
,8Z #[C*  
　　sin（2kπ＋α）= sinα %_X}s7+1  
[)M&8 !  
　　cos（2kπ＋α）= cosα R]Beh({  
f2`w'v!u  
　　tan（kπ＋α）= tanα O&]:3$}c  
~ Av#hwbN|  
　　cot（kπ＋α）= cotα $8Ao*Iyx`  
zj\o4( 96"  
　　公式二： w]8OQ&8e  
l!}S~ d  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： l?Jb6.L8  
N|WrIO0  
　　sin（π＋α）= -sinα IS?43q43D%  
nDP2ni  
　　cos（π＋α）= -cosα i)Y__vKW  
qo?g x`  
　　tan（π＋α）= tanα sG5%0fb=  
# WM6s.  
　　cot（π＋α）= cotα >? ]L7  
&o\r{|n  
　　公式三： Fxo$9g%A4<  
__Q!R#U  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： D0x>NEuS  
8OQW \U  
　　sin（-α）= -sinα qCLNb4K  
kqh,BN:Bl  
　　cos（-α）= cosα rG2GHJ*->  
bWrG|[)l  
　　tan（-α）= -tanα aOGJ|p"y  
d(D~ 9jN:\  
　　cot（-α）= -cotα "0\[/t'  
<>t(Om  
　　公式四： =6Td8mr  
(\"]G7 bO  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： Ya ^r{ZSx  
<RQHs  
　　sin（π-α）= sinα ?J;0fk_ye  
oa8z6 l  
　　cos（π-α）= -cosα 8=6oiUt  
1&K\}n  
　　tan（π-α）= -tanα C=h8DP68J  
Q@k@zgy  
　　cot（π-α）= -cotα 0 g] .  
p_b]wMo%j{  
　　公式五： A-Rn?Ln b  
V#s3-ymB  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： Jn*=$8O:~  
pf OSjU  
　　sin（2π-α）= -sinα  & T *&7;  
z4$asxc%_  
　　cos（2π-α）= cosα s;cg0aNy5p  
] (?E%(^  
　　tan（2π-α）= -tanα <y@TB=?Pb  
KcDO[B@m  
　　cot（2π-α）= -cotα 0&TPmS D  
rtb? Ok  
　　公式六： 8tC?boR  
qSm9opf~$  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： ^>'Kp#cU*  
llH^ QVx.  
　　sin（π/2+α）= cosα S Pe_  
|%&! i&SS  
　　cos（π/2+α）= -sinα de/rt?OQ3~  
E\gzPnbd0  
　　tan（π/2+α）= -cotα RC)6wTCRAT  
'% ^K Jq0N  
　　cot（π/2+α）= -tanα Dc*h(t>9  
quF$tqgo  
　　sin（π/2-α）= cosα NV:#Bo=  
8@daBd]*D  
　　cos（π/2-α）= sinα |? t tpA  
4joge/Rf  
　　tan（π/2-α）= cotα J ZzbD  
9y@lE~DQWB  
　　cot（π/2-α）= tanα E+X >|G  
b[+"hM  
　　sin（3π/2+α）= -cosα i=\!]F\'  
e]r<jNao&  
　　cos（3π/2+α）= sinα +9`7p%\9?  
8;HHd83i17  
　　tan（3π/2+α）= -cotα 3<h0o-n@v  
+b9*:c  
　　cot（3π/2+α）= -tanα gTvA.  
*jWLCq  
　　sin（3π/2-α）= -cosα X& r.<YhSZ  
;RFW,$/g=  
　　cos（3π/2-α）= -sinα V^<WTwjH  
VYq XY8h  
　　tan（3π/2-α）= cotα Xq[}1ULU]  
r5qy;FS  
　　cot（3π/2-α）= tanα 3avd }  
#A=ov.J  
　　(以上k∈Z) 58dW q  
B{e.rEE  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 *w9O4 yl  
J7j#p<c  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = eL\VLL  
1mF*s2  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 8BE'1rT~  
a/l-ADPZ+  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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