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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 u J&A-#x  
^8<X8.lR  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. i/wq&dn  
~?oCYd  
　　1、三角函数本质： Pt8[f|'  
g/%'P=}:  
　　三角函数的本质来源于定义 <i=tuq)s  
%eDGyr_  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 G&1\_"0Q  
'D Fvw  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 {m8@ +A  
&Cg9thAc  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： fcbPT&]d  
G}C+7sI>A=  
　　推导： & Q\0xb  
3%6 a6 nx  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 r=Pi;a  
eyFu\K"  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) `j]=e4n  
0snl R`<  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ;,q [nu G  
9dAr\I  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 UeetNL*3p  
~69K Utzc  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） lzjwj .o8  
&UW `0"3  
　　[1] }(/\Vnh|(  
p(w_.$ '  
　　两角和公式 VSS29!o$  
c<I_w>U%%  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB Dx#Hxjy\  
q\Vb'=W_7  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  gO9?/Ty\~  
{<> 9RH  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ^TefL"_  
# ]*V[*  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 4m&9KQ21W  
j)ePd3c  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) W1*vSco|.g  
]+8#ru)  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 8[&k}  
+H |v$^d  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  K=UCn-0d  
)YU<?t[X  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) |x Jn$4M  
6~[\au)pS  
倍角公式 f=+*Is$  
U >wR  
　　Sin2A=2SinA•CosA a>mZl=L  
sI;$#;8N  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 VYRhv'1;6  
$+e )\@sL  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） mHR*gl^6L<  
{wv#U/Ux  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） [lmj&&fX  
7,cE3OS_y  
三倍角公式 e>HR/aT.  
_nv*P#"<  
　　 Q-%@18`#  
,1 W c~  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) ,X.=rC(  
ms,(57<j  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) jdSQfp0G  
0gJ^m R2}  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ~4 o  
R7XJRLk  
三倍角公式推导 ,rG6G@#Q%  
= \1>h[`  
　　sin3a '?p`\a#  
']^mgU'o  
　　=sin(2a+a) uw;/W R  
`%G bUAg  
　　=sin2acosa+cos2asina @dz! b  
ej62;Ll{  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina /kG["%"C}|  
\!`Kj4l[  
　　=3sina-4sin³a x]to'0%K)  
(;zmzm  
　　cos3a d^4<]?{CL  
OSO:}{p!w  
　　=cos(2a+a) :g7Q"jwg-  
i1xpSnI#  
　　=cos2acosa-sin2asina sbAE!  
rEo>1 ]gk  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa tGc4[QU">  
B)\ 0_*(<P  
　　=4cos³a-3cosa Sf>%$[ it.  
6+o1N*#  
　　sin3a=3sina-4sin³a 7 0:hZ_NQ}  
Ml"nS=oY  
　　=4sina(3/4-sin²a) JMKSKSld  
ta>Lq}Qs  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] >aJ*'>n|%  
Ber)dwK  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) _HaZYy|&$  
L{l z1h0  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) zH|a B+  
)8dw  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] u(eVxQ1  
{6eG,3;J  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) u~A]*u  
) oi}v,-  
　　cos3a=4cos³a-3cosa AK'z<)VE <  
WJEG8k-Xr  
　　=4cosa(cos²a-3/4) B<hPFz!dWc  
ITSpuo'PsO  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] u<Z7=5lr  
2R.eKX  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) ^ksk9% (  
9of\6WE  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) (!7S~Ad`  
GQ@RY9'Y2  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} bW`&ca"  
XV R`gCy  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) W-G-<@l<  
qM}2@ht'  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] iph69S~b  
B#~eI70"_  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] *N%xt&  
uGmIZdO]  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) :AN'!.,  
VS`4~CQ  
　　上述两式相比可得 Bn76tt&  
Db `D7sx  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) moJ5zP+A ?  
]? q0(:h  
半角公式 X8hO{ <tj  
!0~ Z(  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ' )+*HCSE  
%G rP)u C  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. "4yTh;jI)  
B!A A *a  
和差化积 Qiu1y )B  
0 Fg?X|  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ab "k"Y  
o n}:MdS |  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] k^` 6C}0  
=G^ ii  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] c*qW ;kIB  
{1_k**]/.  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] t, =i2Thh  
]c 5AY  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) :KONoe)t<  
"z05L01T  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) |4'aNtT&L  
^]? x/BWM\  
积化和差 ?\r(w}J|;  
{IpT6"g7  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] M9UHP8A  
NVEr-njO  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] !RqKn#ez  
WC+0A8)  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] #(Z9X  
PDufM8UzW  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] n8 :f2)Lf  
n):]W964  
诱导公式 rzzGPK@  
PGL# N,f  
　　sin(-α) = -sinα 5}Tv\  
y6 thX?  
　　cos(-α) = cosα byos9  
k)02eA)  
　　sin(π/2-α) = cosα _aX!!spD  
M{"[K   
　　cos(π/2-α) = sinα T]CQ+uX  
d"r# :  
　　sin(π/2+α) = cosα r<oF*Q~]_  
,RE&/n:9%  
　　cos(π/2+α) = -sinα 3"^6h(SG  
YL2yZx$  
　　sin(π-α) = sinα 9 %n@ s  
`bM9hry7  
　　cos(π-α) = -cosα "3SAykc  
zsF'4'A  
　　sin(π+α) = -sinα tsqwAf  
Sv63k22.  
　　cos(π+α) = -cosα RL#P M4.  
W~Au%T  
　　tanA= sinA/cosA _ WZ'S~(/  
0[;;pR>  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα ~Z-pE7nN  
V kQjA(4  
　　tan（π/2－α）＝cotα $T&qVc\t5}  
q jCSp]  
　　tan（π－α）＝－tanα OV9%a vjou  
B"xqwN 2  
　　tan（π＋α）＝tanα oMZM/,  
D#DuZ7L~  
万能公式 fC_oZF"6  
gzjsEpz,  
　　 g3JqF\)i  
i~^2BPDD  
其它公式 )O\Xo`}/  
N GJC U  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 )4#W8efh  
]x'  "L  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 ~jO~7--0B  
9wn!+Hr#  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 ) 7fXeCvF2  
I`?r|p;^#  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 qY '!8]Sc  
,y6J X  
　　对于任意非直角三角形,总有 WY?>}U^REl  
7+QU:0^  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC =\$@^  
sv\m][ FD  
　　证: @uJUP(d  
FQ,SpO!9  
　　A+B=π-C nH`bM<pzmL  
x7j*fQ+}  
　　tan(A+B)=tan(π-C) "G^vzg.h  
Sgdxqrb  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) c {MG@de2  
O} =ytFR8  
　　整理可得 "{AO5 4l?  
cb t-KTK  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC $"+ jFqX  
kxThZ&  
　　得证 NC$iVl7Y  
a "#P. 1r  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 A7]C32z  
iv7PzG!C1  
其他非重点三角函数 yw"OQ;cP  
~|yB/;L  
　　csc(a) = 1/sin(a) uzBbUGb  
~?5"`ou  
　　sec(a) = 1/cos(a) OTA8iQ  
2>;0MER  
　　 l_ <u/*  
rHQWkkaf  
双曲函数 Iv#%L6Y2  
1SvWue}x~  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 -w.vjh8x  
A bthuu5'  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 !]Y7Pi9  
)^QLDe  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) Xy 6ju Z  
E:a.DZ~  
　　公式一： y{>${4P{  
xdb`Brh*d~  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： {mvErFvU  
Af~V(4  
　　sin（2kπ＋α）= sinα P*_~UiM_  
(VGT,uNY  
　　cos（2kπ＋α）= cosα W92)T&g  
(\pdf}Wn  
　　tan（kπ＋α）= tanα +;tr;"'zj  
(`<7^1&s  
　　cot（kπ＋α）= cotα L@p|. I8"  
.wY.y_KlE  
　　公式二： z WBVqH  
P v,Ey(B6  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： NPhmz,- qh  
3J4NV9  
　　sin（π＋α）= -sinα 9\ j l&V]  
A(' +IH9=  
　　cos（π＋α）= -cosα &\R![I3"Z  
[B e{-2L!  
　　tan（π＋α）= tanα ~)3E=0U*  
" 5_p@A  
　　cot（π＋α）= cotα % 4b8^M  
2xj*8D+g  
　　公式三： q&== l  
~|oIOJ_b  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： N@^ob-  
G|RH"^5  
　　sin（-α）= -sinα XI(I)*7  
OQr $MX_  
　　cos（-α）= cosα rfKK"/  
n[( lZY^  
　　tan（-α）= -tanα h=EBTMC5"U  
/~G)yEB%n  
　　cot（-α）= -cotα vKtjjj0?  
\sg=Tt`l  
　　公式四： QV1:VG}S  
rxH!$Bn  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： ]ib1p>A/`  
t\q)&'j  
　　sin（π-α）= sinα GB' uA  
h MtF?  
　　cos（π-α）= -cosα N;|$>Z.T  
[lx55 O)  
　　tan（π-α）= -tanα jy@AL|O  
=ke#|L|R  
　　cot（π-α）= -cotα ?@E't?*]  
l bXG  
　　公式五： 6&}KS;  
@&to->}  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： T;/'.{*q  
Y|_T+S  
　　sin（2π-α）= -sinα pUgM0*ot  
GbfkzWu]  
　　cos（2π-α）= cosα ~'A|?~8b  
5=5; C   
　　tan（2π-α）= -tanα ?YMmxqPYA  
j#]$rgto{  
　　cot（2π-α）= -cotα t21u# z  
5`33P>ijrG  
　　公式六： u-%c  
|*uJfB3tj  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 9A yRV!k>  
tP', cfgJ  
　　sin（π/2+α）= cosα s]0]x5  
vn#|`^p  
　　cos（π/2+α）= -sinα fOwFkVuYF  
[*('}WE('  
　　tan（π/2+α）= -cotα <6`8U=K`\B  
I oM': /]  
　　cot（π/2+α）= -tanα #(r= jpH  
Dsa$:jpP-_  
　　sin（π/2-α）= cosα io9zW "C  
Vm9Hw($9  
　　cos（π/2-α）= sinα 7e.`9C<q  
MzPS-ClRmR  
　　tan（π/2-α）= cotα # STGOf$  
,[OI^kMfG  
　　cot（π/2-α）= tanα *aXo!r_ha  
L)YGR;Xd  
　　sin（3π/2+α）= -cosα / >/o}(  
rsi41}  
　　cos（3π/2+α）= sinα *<lm*gxd  
--n9|``Pd,  
　　tan（3π/2+α）= -cotα O|%1'(@y  
k;y-90q'!=  
　　cot（3π/2+α）= -tanα J> D XH  
CV<N/\  
　　sin（3π/2-α）= -cosα U|\WL5cI#  
9bx,}1q'  
　　cos（3π/2-α）= -sinα W,p!{VNY>  
/f]rIsY`6  
　　tan（3π/2-α）= cotα SS|L5  
f-?3)O.<  
　　cot（3π/2-α）= tanα UFSd|*X!  
3Ih2C)  
　　(以上k∈Z) fgZ9@9q  
3\mwkY>C  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 3zYsLjcerE  
2QgQH)k  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = L!G,Ys T  
U$f=lR:0j  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } $ rj`a4c  
LnF!Tg2Pb  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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